насправді, дійсні числа утворюють an впорядковане поле

. Множина дійсних чисел має структуру поля під операціями звичайного додавання та звичайного множення.19 січня 2021 р.

Набір дійсних чисел, упорядкованих за звичайним співвідношенням «менше або дорівнює» (≤) або «більше або дорівнює» (≥), є повністю впорядкованим. Отже, кожна підмножина дійсних чисел є повністю впорядкованою, як-от натуральні числа, цілі чи раціональні числа.

Таким чином дійсні числа є прикладом упорядкованого поля. Іншим прикладом упорядкованого поля є набір раціональних чисел Q зі знайомими операціями та порядком.

Реальні числа включають раціональні числа, такі як додатні та від’ємні цілі числа, дроби та ірраціональні числа. Іншими словами, будь-яке число, яке ми можемо придумати, крім комплексних, є дійсним числом. Наприклад, 3, 0, 1,5, 3/2, √5 і так далі є дійсними числами.

Базове визначення відношення: Відношення це набір впорядкованих пар дійсних чисел. Область визначення відношення — це набір усіх перших координат у відношенні, а діапазон відношення — це набір усіх других координат у відношенні.

Реальні числа є повним упорядкованим полем. x є верхньою межею для S, і для кожного ε ∈ F з ε > 0F існує деяке s ∈ S з x − ε<s ≤ x. Твердження 16 (Архімедова властивість R). Для кожного x ∈ R існує деяке n ∈ N з n>x.

Будь-який набір, який задовольняє всім восьми аксіомам, називається повним упорядкованим полем. Ми припускаємо існування повного впорядкованого поля, яке називається дійсними числами. Дійсні числа позначаються через R.Можна показати, що якщо F1 і F2 є повними впорядкованими полями, то вони однакові в наступному сенсі.