Тензорний добуток не є комутативним, а псевдокомутативним.

У загальному випадку кожен елемент тензорного добутку модулів дає початок лівому R-лінійному відображенню, правому R-лінійному відображенню та R-білінійній формі. На відміну від комутативного випадку, у загальному випадку тензорний добуток не є R-модулем і тому не підтримує скалярне множення.

Тензорний добуток є лінійним в обох множниках. На відміну від звичайного множення , це не обов’язково комутативне оскільки кожен фактор відповідає елементу різних векторних просторів.

Крім того, тензорний добуток підкоряється розподільному закону з операцією прямої суми : . Визначення однакове незалежно від скалярного тіла, яке використовується. Використовуючи тензорні твори, ми можемо визначити симетричні тензори, антисиметричні тензори, а також зовнішню алгебру.

Тензорний добуток двох модулів A і B на комутативному кільці R визначається точно так само, як тензорний добуток векторних просторів на поле: A ⊗ RB := F (A × B) / G , {\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G,} де тепер F ( A × B ) {\displaystyle F(A\times B)}

Загалом тензорна алгебра не є комутативним . Він асоціативний і має єдиний єдиний елемент 1R ∈ N0 M. Назвемо ступінь t. Кожен елемент алгебри однозначно є сумою кінцевого числа однорідних елементів.

Якщо 𝐴 і 𝐵 дві діагональні матриці розмірності 𝑛 × 𝑛 , то добуток цих двох матриць є комутативним. Іншими словами, 𝐴 𝐵 = 𝐵 𝐴 .