Отже, матриця є діагоналізованою тоді і тільки тоді, коли його нільпотентна частина дорівнює нулю. Іншими словами, матриця є діагоналізованою, якщо кожен блок у її формі Жордана не має нільпотентної частини; тобто кожен "блок" є матрицею один за одним.

Матриця A розміром n × n є діагоналізованою тоді і тільки тоді, коли A має n лінійно незалежних власних векторів. Якщо так, ці власні вектори утворюють базис Rn, і цей базис називається базисом власного вектора. Теорема 6. Матриця розміром n × n із n різними власними значеннями є діагоналізованою.

Дано матрицю A розміром n × n, ось що потрібно зробити, щоб її діагоналізувати: (1) Обчислити характеристичний поліном P(λ) = det(A−λI). Його корені є власними значеннями A. (2) Якщо P(λ) не має n дійсних коренів, враховуючи кратності (іншими словами, якщо воно має кілька комплексних коренів), то A не діагоналізується.

Квадратна матриця є діагональною матрицею тоді і тільки тоді, коли недіагональні елементи дорівнюють 0. Отже, вашу матрицю можна діагоналізувати. насправді, якщо всі власні значення різні, тоді його можна діагоналізувати. Кожну матрицю можна діагонізувати, якщо всі її власні значення різні, незалежно від значення самих власних значень.

Підкреслимо, що для того, щоб матриця була діагоналізованою, це необхідно і достатньо він допускає n лінійно незалежних власних векторів. З іншого боку, необов'язково, щоб він мав n різних власних значень.

Матриця діагональна якщо всі елементи вище і нижче головної діагоналі дорівнюють нулю. Будь-яка кількість елементів на головній діагоналі також може дорівнювати нулю. Наприклад, ця матриця ідентичності 4 на 4 є діагональною матрицею. Діагональні матриці зазвичай, але не завжди, квадратні.