Загалом, ми множимо перетворення Фур’є сигналу на деяку функцію фільтрації ˆh(t), щоб отримати перетворення Фур’є відфільтрованого сигналу, ˆg(ω)=ˆf(ω)ˆh(ω). Новий сигнал g(t) є оберненим перетворенням Фур’є цього продукту, що дає новий сигнал як згортку: g(t)=F−1[ˆf(ω)ˆh(ω)]=∫∞−∞h(t−τ)f(τ)dτ.

Визначення та обчислення. Рецепт обчислення згортки такий: віддзеркаліть функцію W у початку координат, щоб отримати функцію Wm[i,j]=W[−i,−j], а потім перемістіть вагову функцію Wm у положення (k,l) на зображенні попіксельно помножте функцію та зміщену вагову функцію та.

Ми визначаємо згортку двох функцій f (x) і g(x), що тут розуміється як згортка на інтервалі (−∞, ∞), як наступну операцію, позначену як f * g: (20.68) ( f ∗ g ) ( x ) ≡ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ g ( y ) f ( x − y ) d y .

DTFT суми згортки двох сигналів x1[n] і x2[n] є добутком їхніх DTFT, X1(ejω) і X2(ejω). Тобто: y [n] = x 1 [n] * x 2 [n] ⇔ Y (e j ω) = X 1 (e j ω) X 2 (e j ω) .

Рівняння θ(t) = g(t) * h(t) означає, що вихідний сигнал θ(t) є входом h(t), згорнутим із імпульсною характеристикою системи g(t).

тобто, щоб обчислити згортку двох сигналів x(t) і y(t), ми можемо виконати три кроки:

1. Обчисліть спектр X(f)=F{x(t)} та Y(f)=F{y(t)}.
2. Обчислити поелементний добуток Z(f)=X(f)⋅Y(f)
3. Виконайте зворотне перетворення Фур’є, щоб повернутися до часової області z(t)=F−1{Z(f)}